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欧拉公式

欧拉公式的形式是

eiθ=cosθ+isinθe^{iθ}=cosθ+i sinθ

这个方程第一次出现在我的课本上，是在泰勒展开的那部分出现的，把exe^x展开成多项式

ex=∑n=0∞xnn!=1+x+x22!+x33!+x44!+⋯e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots

然后sin⁡x\sin x和cos⁡x\cos x也有

sin⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!=x−x33!+x55!−x77!+⋯\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots cos⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!=1−x22!+x44!−x66!+⋯\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots

找出它们之间的联系

eix=(1−x22!+x44!−⋯ )+i(x−x33!+x55!−⋯ )e^{ix} =\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots\right) +i\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots\right)

所以

eix=cos⁡x+isin⁡xe^{ix}=\cos x+i\sin x

这些对于当时的我其实还能理解，但最令我疑惑的是为什么一个指数和毫不相干的三角函数联系在一起

如何直观理解

上面的推导确实没有任何问题，唯一的问题在于，最近我在学数字信号处理有关的东西，他们用欧拉公式代替复杂的三角函数运算，为什么可以这样？指数里放一个虚数是什么操作？我们可以从传统的指数概念和虚数概念中推导出旋转这个概念吗？我需要一个更能直观理解这个方程的东西

这里需要了解一个新概念：复平面

不知道这是否偶然，因为即便人类没有创造复平面这一概念，欧拉公式似乎以一种超越我的认知的方式仍然存在。当然以我的视角说的这一切都是因为人类已经用复平面去理解并使用它了。如果没有复平面这个概念的产生人们仍然可以用欧拉公式去解决实际问题，我在这里需要做的只是用我可以理解的方式理解它

1799年韦塞尔发表了“论方向的解析表示”这篇论文，提出复数的几何表示方法，在这里就不过多说明这个几何的表示方法了，比如说乘以i逆时针旋转90°什么的，但需要用到它去理解

这里还需要了解一个背景：ee 的来源

最经典的来源：复利问题

ee 的一个经典来源是复利极限，雅各布·伯努利研究过；而符号 ee 和系统使用主要归功于欧拉

假设你在银行存 1 元钱，年利率是 100%（即 1 年后变成 2 元）

1×(1+1)1=21 \times (1+1)^1 = 2 (1+12)2=1.52=2.25\left(1+\frac{1}{2}\right)^2 = 1.5^2 = 2.25 (1+14)4≈2.4414\left(1+\frac{1}{4}\right)^4 \approx 2.4414 (1+112)12≈2.613\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.613 (1+1365)365≈2.7146\left(1+\frac{1}{365}\right)^{365} \approx 2.7146

可以发现，随着计息次数越来越多，结果趋近于一个固定的数，大约 2.71828

用极限表示就是：

e=lim⁡n→∞(1+1n)ne = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n

这就是ee最经典的来源

现在把这个思想搬到复平面。把“实数增长率”换成“虚数增长率”：

eiθ=lim⁡n→∞(1+iθn)ne^{i\theta}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{i\theta}{n}\right)^n

这就是复指数的一个极限定义。

每一步 1+iθn1+\frac{i\theta}{n} 近似一次小旋转

令

Δ=θn\Delta=\frac{\theta}{n}

当 nn 很大时，Δ\Delta 很小，几何上看，1+iΔ1+i\Delta 对应复平面上的点 (1,Δ)(1,\Delta)。它的长度几乎是 11，角度大约是 Δ\Delta。所以乘以它，就近似于把当前向量逆时针旋转一个小角度 Δ=θ/n\Delta=\theta/n

重复 nn 次：

(1+iθn)n\left(1+\frac{i\theta}{n}\right)^n

严格看模和角：

∣1+iθn∣=1+θ2n2\left|1+\frac{i\theta}{n}\right| = \sqrt{1+\frac{\theta^2}{n^2}}

所以

∣1+iθn∣n=(1+θ2n2)n/2→1\left|1+\frac{i\theta}{n}\right|^n = \left(1+\frac{\theta^2}{n^2}\right)^{n/2} \to 1

长度极限是 11，说明没有无限拉长

而角度：

arg⁡(1+iθn)=arctan⁡θn≈θn\arg\left(1+\frac{i\theta}{n}\right) = \arctan\frac{\theta}{n} \approx \frac{\theta}{n}

做 nn 次，总角度：

narctan⁡θn→θn\arctan\frac{\theta}{n}\to \theta

所以极限就是：长度 11，角度 θ\theta。这正是单位圆上的点：

eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta

所以在这整个过程中，用更直观的方式理解欧拉公式 ，对于我而言仅仅只是需要复平面这么一个新概念就可以了